膜结构自其问世之日起, 就由于其丰富的表现力而倍受人们的青睐。而膜材自重轻的特点, 又赋于膜结构跨度大、抗震性好的优点。因此, 在世界范围内膜结构发展得非常快。尽管现代意义上的膜结构的出现距今不过20多年, 但各国在体育场馆、展览馆、航空港等设施中, 建造了一大批造型优美、别致的大跨度膜结构。

膜结构的裁剪分析是膜结构设计中的关键技术, 裁剪分析结果的好坏决定工程的整体质量。裁剪分析就是在市售的膜布卷材上进行裁剪样式设计, 使其各个裁剪片在拼接安装后, 形成找形分析所确定的膜结构曲面形状, 并能产生预定大小的预张力[1,2]。关于膜结构的裁剪目前已有多种方法, 德国和国内的一些学者采用的方法大多是从曲面上的测地线出发, 进行裁剪线的确定, 这种方法确定的裁剪线的终点与目标值存在误差。除此之外, 裁剪线的确定方法还有平面切割线法、有限元网格线法等[3]。本文对文献[4]所阐述的利用索杆单元确定裁剪线的方法进行改进, 得到了较好的裁剪精度。

在膜面需要裁减的部位确定裁剪线的起点和终点, 用预应力索连接两点;设此索的任一个单元有预张力Fi, 长度Li, 拉伸刚度EiAi, 则此单元的应变能为

Ui=∫Li0F2i2EiAidLi   (1)$U{}_{\text{i}}={\displaystyle {\int }_0^{\text{L}{}_{\text{i}}}\frac{F{}_{\text{i}}^2}{2E{}_{\text{i}}A{}_{\text{i}}}}\text{d}L{}_{\text{i}}(1)$

若索单元的预张力Fi和拉伸刚度EiAi都是常数, 则式 (1) 可写为

Ui=F2iLi2EiAi   (2)$U{}_{\text{i}}=\frac{F{}_{\text{i}}^{2}L{}_{\text{i}}}{2E{}_{\text{i}}A{}_{\text{i}}}(2)$

若裁剪线的起点和终点之间有N个索单元, 则整条索的应变能可以表示成

Ui=∑i=1NF2iLi2EiAi   (3)$U{}_{\text{i}}={\displaystyle \sum _{\text{i}=1}^{\text{Ν}}\frac{F{}_{\text{i}}^{2}L{}_{\text{i}}}{2E{}_{\text{i}}A{}_{\text{i}}}}(3)$

若索的所有单元具有相同的预张力F和拉伸刚度EA, 则式 (3) 可以写成

Ui=F22EA∑i=1NLi   (4)$U{}_{\text{i}}=\frac{F{}^2}{2EA}{\displaystyle \sum _{\text{i}=1}^{\text{Ν}}L}{}_{\text{i}}(4)$

在索外部作用力做功为零时, 由能量守恒原理可知:索的应变能等于索的势能。根据最小势能原理, 当整个体系中势能最小时, 就可以获得全部索单元组装后的平衡状态, 反之亦然。由式 (4) 可以看出, 势能最小时, ∑i=1NLi${\displaystyle \sum _{\text{i}=1}^{\text{Ν}}L}{}_{\text{i}}$最小。因此可以看出, 当两个端点之间固定的等张力索在膜面上自由滑动时, 最终索的平衡位置就是膜面上两个固定端点间最小距离的位置, 即为这两个端点之间的测地线。

(1) 对膜结构进行初始形态分析, 获得膜面。

(2) 根据膜卷的宽度, 初步确定等张力索的端点位置。

(3) 将两端点之间的直线向X—Y面做垂面, 与膜面的交线成为索的初始位置。因为膜面三角形单元为平面单元, 所以, 不用像文献所述那样再在每个三角形平面单元中划分5～10个索单元来模拟膜面的曲率, 这样, 既减小了编程难度又减少了计算时间。然后, 由交线与膜面三角形单元的边形成的交点做垂直膜面的支杆, 其中, 支杆长度为索单元长度的100倍, 刚度为索刚度的100倍, 其目的是消除由于支杆的运动所产生的应变能。

(4) 将膜面所有单元固定, 然后对索、杆进行有限元分析, 得到索杆的平衡位置, 此时, 索已离开膜面。

(5) 根据索在X—Y面上的坐标, 可以判别索所在的膜单元位置, 将索重新投影到膜面上, 重新确定支杆的位置。

(6) 重复 (4) ～ (5) 步, 直至前后2次裁剪线的长度差小于精度值。

算例1 圆柱面的裁剪线[4]。柱面半径为1 m, 长度为3 m。测地线的2个端点为半柱面的对角点。由于柱面是可展曲面, 因此, 当半柱面展平后, 测地线的2个端点的直线长度为4.343 m。索的初始位置为这两点之间直线向X—Y面所做的垂面和柱面的交线, 如图1, 2所示。根据所得交线, 由交点向交点所在膜单元做垂直的支撑杆, 如图3所示。将膜片固定, 进行索杆系统的有限元分析, 向膜面投影索的平衡位置。经过反复投影, 最终得到裁剪线位置, 如图4, 5所示的点划线为裁剪线。本文算法与文献[4]的对比见表1。由表1可以看出, 本文算法与理论值相差1 mm, 比文献精确, 并且迭代次数少于文献迭代次数。

算例2 双曲抛物面索杆膜空间结构。一以柔性索为4条边界的索膜结构, 如图6所示。膜面的初始预应力σx=σy=2 N/mm2, 4条边索的初始预张力为30 kN。初始裁剪线位置平面和最终裁剪线位置平面见图7, 8中的点划线 (共7条裁剪线) 。在图8中, 中间的一条线 (点1～221) 是由yoz平面与双曲面相交所产生的, 并且双曲面是关于yoz平面对称的, 因此, 此中间线两边的线也应该对称且此中间线即为测地线。经过对比可知, 本文得到的测地线是关于yoz平面对称的, 中间测地线长度与理论值相差仅0.5 mm, 可见, 应用本文算法可以正确地得到膜面上的测地线群。