膜结构找形分析中的二次节点平衡法策略
发布时间:2020年4月10日 点击数:2249
1 引言
索膜结构是近几十年发展较迅速的大跨空间结构, 其造型适应性强, 力学性能好, 自重轻, 充分体现了结构的轻巧、高强、透光等特点
膜结构设计分析主要包括3个方面, 即找形分析、载荷分析和裁剪分析。其中找形分析和裁剪分析的精确性对成形后的膜结构外观起到决定性作用, 而找形分析是裁剪和载荷分析的基础, 找形结果的精确性直接决定了膜结构的成败, 对于曲率变化急剧的部位和边界部位则需要更为精确的网格来刻画膜的形态, 否则很易产生褶皱 (如图1) 。
图1 膜面褶皱实例 下载原图
找形方法主要有力密度法、动力松弛法和非线性有限元法等, 其中非线性有限元法是在固体力学大变形问题的基础上展开研究的, 可同时考虑各单元节点间的受力平衡和变形协调, 以及材料正交异性的影响, 随着结构单元划分的不断加密和迭代计算次数的增加, 该法的计算结果总是不断向准确解收敛, 比前2种方法更为精确。
本文在节点平衡法的基础上, 提出了二次节点平衡法策略, 即根据节点不平衡力的大小及分布, 对相关节点周围网格进行进一步细化, 再次进行节点平衡法找形, 使找形结果更加精确, 为后续的裁剪及载荷分析提供更有效的数据。
2 节点平衡法
由于索膜结构在预应力的作用下, 结构的变形具有小应变、大位移的特点, 属于几何非线性问题, 采用Updated Lagrange描述对索膜单元进行分析, 由t时刻的位形可得t+△t时刻的平衡方程为
式中:ttKT为该法得到的增量形式的单元切线刚度矩阵, ttKT=ttKL+ttKS (ttKL、ttKS分别为线性刚度矩阵和几何刚度矩阵) ;ttRS是时刻t的应力场S的等效节点力向量;△tae为单元节点位移增量。
在找形分析过程中, 求解的是在指定预应力条件下的静力平衡形态, 若考虑材料属性则会导致找形后的最终预应力不是初始指定预应力, 因此找形分析时将材料矩阵置为零, 另外在找形过程中无外荷载的作用, 则方程⑴改写为:
节点平衡法是先给定结构的初始几何态, 并设定初始预张力的大小和分布, 在初始几何态的基础上依据方程⑵进行计算, 最终得到结构的平衡形态。但计算结果是否收敛, 与给定的初始几何态关系很大, 当所选择的初始几何态较为接近平衡态时, 结构迭代计算的收敛性才能得到保证。该法中预先给出的结构初始几何态可以根据建筑方案的控制点坐标进行曲面拟合得到
3 二次节点平衡法找形策略
节点平衡法能够找出膜曲面的平衡面, 但对于膜曲面中某些曲率变化急剧的部位和边界部位, 节点不平衡力远大于所有节点的平均不平衡力, 使得迭代难以收敛, 计算结果的精度无法对这些部位进行有效的刻画, 导致提供给裁剪分析和载荷分析的数据不准确, 并最终可能引起成形后的膜面褶皱。
二次节点平衡法找形策略是在节点平衡法找形结果的基础上, 根据计算结果的不平衡力的分布, 以及膜面形态和设计人员的要求, 对与不平衡力二范数大于平均不平衡力二范数5倍的节点相连的网格进行加密, 在此基础上进一步进行节点平衡法找形, 从而可以得到一个更为精确的形态, 节点不平衡力的分布也更为均匀, 克服了一次节点平衡法的缺点, 整个过程的程序分析流程如图2。该法充分利用了随着网格加密, 有限元近似解收敛于真实解的特点, 同时克服了为得到更精确解而对网格盲目加密, 导致计算工作量成倍增长而不能有效降低节点不平衡力的缺点。
图2 二次节点平衡法程序流程图 下载原图
4 找形算例分析
4.1 锥形索膜结构
找形初态如图3a, 模型平面投影为5.0m×5.0m的正方形, 中间顶点高度为2.5m, 共有4根脊索和4根边索 (见图中粗线) , 4个角点和顶点为不动铰支约束点, 膜初始预应力为1.0MPa, 索预应力为5.0kN。节点平衡法找形结果如图3b, 顶点处网格过稀, 有限元网格不能有效地模拟膜曲面, 计算结果难以收敛主要由于个别节点引起, B、C及平均节点不平衡力见表1 (对称节点相同) 。
针对此情况, 将找形初态中间部分的网格加密1倍后找形, 但结果不理想, 且增加了计算量, 说明尖顶现象是由节点平衡法自身缺点而造成, 并非初态网格过稀而引起。根据图3b, 节点不平衡力在B、C两点处最为突出, 图3c是在是在图3b的基础上将B、C处的网格加密, 计算的终态如图3d, 尖顶处有足够的网格刻画膜曲面。各种方法计算的不平衡力见表1, 找形初态网格加密后的计算结果稍有改善, 但计算量成倍增加, 显然二次节点平衡法使B、C两点的不平衡力趋于均匀, 其结果也更理想, 网格总数仅增加16%, 其初态较接近平衡态, 所以更易收敛。
图3 锥形索膜结构的找形形态 下载原图
以图3b中A点的平面投影点为坐标原点, 将其与二次节点平衡找形图中AB段和AC段的节点纵坐标进行对比, 图3b中AB、AC的中间点坐标按直线插值计算得到, 其对比结果见表2, 可见膜面的影响比脊索大, 误差最大达到2.8cm, 对比表明其余网格节点坐标也有微小变化。
4.2 马鞍形膜面结构
找形初态如图4a, 模型平面投影为10.0m×10.0m的正方形, 对角顶点一边提升高度为5.0m, 另一边降低高度为5.0m, 共有4根边索 (见图中粗线) , 4个角点为不动铰支约束点, 膜初始预应力为0.5MPa, 索预应力为20.0kN, 节点平衡法找形结果如图4b, 其中B点的不平衡力最为明显, 其次为边索的中点D点 (对称节点相同) , 将图4b中B点处部分的网格加密, 由二次节点平衡法得到的最终形态 (如图4c、d) , 求解结果得到明显改善。由表1可知, 虽然在二次节点平衡法中D点处的网格未加密, 但由于B点的计算结果得到很好的改善, 使得D点的不平衡内力也明显减小, 可见由节点平衡法得出的不平衡内力较大的点会对周围的点的不平衡力产生较大的影响, 进一步影响整个膜面。
图4 马鞍形膜面结构的找形形态 下载原图
以图4a中模型的中心点为坐标原点, 将图4b、d中AB段和AC段的节点纵坐标进行对比, 其中图4b中AB、AC的中间点坐标按直线插值计算, 其结果见表2, 可见膜面的影响比边索大, 误差最大达16.4cm, 对比表明其余网格节点坐标也有微小变化, 说明约束点处网格过稀使整个膜曲面形态产生了较大变化。
5 结论
由于找形的初始形态一般只能由几个关键点控制, 初始形态与指定预应力下的膜等应力面相差甚远, 使得节点平衡法很难收敛, 尤其是在曲率变化急剧的部位和边界部位, 不平衡力远远超出所有节点平均不平衡力, 进一步影响周围节点, 这些正是节点平衡法无法逾越的问题。二次节点平衡法找形通过跟踪节点平衡法计算所得的节点不平衡力大小及分布, 对与不平衡力较大节点相连的网格进行进一步细化, 再次进行节点平衡法找形, 由于此时找形初态已经较接近平衡态, 使找形分析的结果更为精确可靠, 直接解决了一次节点平衡法的缺点, 通过对比两种找形方法的计算结果, 可以发现二次节点平衡法在计算工作量增加不大的基础上, 使节点不平衡力分布更为均匀, 计算结果更精确, 有效的避免了由于找形分析不精确引起的膜褶皱问题。由于实际膜形态的复杂多变, 在设计工作中, 甚至可以采用多次节点平衡法以得到理想的膜结构形态。