膜结构是20世纪中期发展起来的一种新型建筑结构形式, 是由多种高强薄膜材料及钢加强构件通过一定方式使其内部产生一定的预张应力以形成某种空间形状[1,2], 作为覆盖结构, 并能承受一定的外荷载作用的一种空间结构形式。其最初的尝试是在美国军用设施中开始的, 后来逐渐推广到民用建筑中来[3,4]。膜结构属于柔性结构, 具有轻质、薄而柔软的特性, 与传统的刚性结构有很大的不同。膜材的透光性非常好, 这样使膜结构的内部非常明亮, 在建筑中是罕见的。这种独特的结构有着无限的潜力, 能适应各种功能, 可广泛应用于体育场馆、展览馆、会议厅、机场候机厅、街景建筑等[3]。

随着高强度建筑材料及分析方法的发展, 膜结构体系不断演化, 一般可分为充气膜、张拉膜、骨架式膜及索穹顶膜结构等结构体系[5]。其中充气膜结构是膜结构发展过程中最初阶段的主要形式。充气膜结构利用帆船原理[6], 由膜内的空气压力支撑膜面, 又可分为气承式膜结构 (Air-Supported Membrane) 和气囊式膜结构 (Air-Inflated Membrane) 。所谓气承式是直接向膜材所覆盖的封闭使用空间内注入一定压力空气使之成形; 而气枕式是向封闭气枕内充入一定压力的气体, 以形成具有一定刚度和形状的构件, 再由多个这种构件相互连接形成使用空间[2]。气囊式膜结构则是充气于特定形状的气囊内, 使之形成具有一定刚度的结构或构件, 并由此来承受荷载[7,8,9]。

不管何种充气膜结构, 其最基本的受力即为充气压力, 这也是此类型结构得以保持一定刚度、维持稳定形状的内在原因。因此, 准确计算在充气压力作用下的变形及内力分布就显得尤为重要[10]。

对于旋转体, 设旋转轴为z轴, 旋转半径为r, 则母线方程可设为r=r (z) 。因此, 可以得到Lame常数A=1+r′2−−−−−√‚B=rA=1+r′2‚B=r, 主曲率半径分别为:

r1=−(1+r′2)3/2r′′‚r2=r1+r′2−−−−−√ (1)r1=-(1+r′2)3/2r″‚r2=r1+r′2(1)

选取母线法线与旋转轴的夹角φ与绕旋转轴角度θ为坐标轴[11] (见图1) 。

显然弧长公式为ds2 =r2112dφ2+r2dθ2, Lame常数A=r1, B=r=r2cosφ, 另外由高斯-科达齐公式有[12]:

∂r∂φ=∂r2sinφ∂φ=r1cosφ (2)∂r∂φ=∂r2sinφ∂φ=r1cosφ(2)

在实际应用中, 很多情况下的母线为二次圆锥曲线, 因此把原点选在母线上, 则其方程可写为, r2+ (1+ξ) z2-2r0r=0, 其中参数ε, r0由曲线形状决定。因此主曲率为:

r1=r0(1+ε⋅sin2φ)3/2‚r2=r0(1+ε⋅sin2φ)1/2 (3)r1=r0(1+ε⋅sin2φ)3/2‚r2=r0(1+ε⋅sin2φ)1/2(3)

所以充气膜结构方程可以简化[11]为:

∂(rNφ)∂φ+r1∂Nφθ∂θ−Nθr1cosφ+rr1p1=0∂(rΝφ)∂φ+r1∂Νφθ∂θ-Νθr1cosφ+rr1p1=0 (4a)

∂(rNφθ)∂φ+r1∂Nθ∂θ+Nφθr1cosφ+rr1p2=0∂(rΝφθ)∂φ+r1∂Νθ∂θ+Νφθr1cosφ+rr1p2=0 (4b)

Nφr1+Nθr2+p3=0Νφr1+Νθr2+p3=0 (4c)

令U=Nφr2sin2φ, V = Nϖθr2222sin2ϖ, 并把式 (4c) 消去, 可以化为:

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪r22sinφr1∂U∂φ+∂V∂θ+(p1sinφ+ p3cosφ)r32sin2φ=0∂V∂φ−r2sinφ∂U∂θ+(p2sinφ−∂p3∂θ)⋅ r1r22sin(φ)=0 (5){r22sinφr1∂U∂φ+∂V∂θ+(p1sinφ+p3cosφ)r23sin2φ=0∂V∂φ-r2sinφ∂U∂θ+(p2sinφ-∂p3∂θ)⋅r1r22sin(φ)=0(5)

在只考虑充气囊体情况下, 可以把外载当作只有法向面载。即∂∂θ=0∂∂θ=0, 这时, 方程 (5) 可以直接积分求解。

⎧⎩⎨∂U∂φ=−p3r1r2sinφcosφ∂V∂φ=0 (6){∂U∂φ=-p3r1r2sinφcosφ∂V∂φ=0(6)

在一般情形下, 由本构关系可知有εφ=Nφ−μNθEh‚εφθ=2(1+μ)EhNφθ‚γθφ=Nθ−μNφEhεφ=Νφ-μΝθEh‚εφθ=2(1+μ)EhΝφθ‚γθφ=Νθ-μΝφEh。在轴对称变形情况下, 有Nφθ=γφθ=0, 由几何方程可知位移关系简化为:

1r1∂u∂φ−wr1=Nφ−μNφEh‚cotφr2u−wr2=Nθ−μNφEh (7)1r1∂u∂φ-wr1=Νφ-μΝφEh‚cotφr2u-wr2=Νθ-μΝφEh(7)

在此两式方程消去w后, 可得关于u的方程:

∂u∂φ−ucotφ=1Eh[Nφ(r1+μr2)−Nθ(r2+μr1)]=f(φ)∂u∂φ-ucotφ=1Eh[Νφ(r1+μr2)-Νθ(r2+μr1)]=f(φ)

此方程可以直接积分求解, 其解为式 (8) , 积分常数由边界条件确定。求得位移u后可以由式 (7) 得出其他两个方向位移解。

u=sinφ∫f(φ)sinφdφ (8)u=sinφ∫f(φ)sinφdφ(8)

对于充气膜结构, 一般情况下膜结构荷载为充气压力, 即:

{p1=p2=0p3=p0 (9){p1=p2=0p3=p0(9)

其中, p0为飞船体积中心压力值。因为荷载与θ方向无关, 结构关于θ对称, 因此有∂∂θ=0∂∂θ=0, 所以, 方程式 (5) 可以直接积分求解。

对于母线为椭圆r2a2+z2b2=1r2a2+z2b2=1的方程, 则可以求得有r0=a2b,ε=a2b2−1r0=a2b,ε=a2b2-1, 把r1, r2表达式代入, 积分求得有:

U=∫φ0p0sinφ(1+εsin2φ)2dφ (10)U=∫0φp0sinφ(1+εsin2φ)2dφ(10)

令c=sinφ, 有:

U=r022{arcth(εcε+ε2√)/[(1+ε)ε+ε2−−−−−−√]+c/[(1+ε)(1+ε−εc2)]} (11)U=r022{arcth(εcε+ε2)/[(1+ε)ε+ε2]+c/[(1+ε)(1+ε-εc2)]}(11)

V=0

因此可以求得内力为:

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪Nφ=Ur2sin2φNθ=−p0r2+Ur1sin2φNφθ=Vr22sin2φ=0 (12){Νφ=Ur2sin2φΝθ=-p0r2+Ur1sin2φΝφθ=Vr22sin2φ=0(12)

因此可以看出, Nφθ=0, 在纯内压力情况下, 膜内没有剪应力。如果考虑到压力随高度变化影响, 则外荷载为:

{p1=p2=0p3=p0+γbcosφ1+εsin2φ√ (13){p1=p2=0p3=p0+γbcosφ1+εsin2φ(13)

其中, p0为体积中心处压力值, γ为压力高度变化系数, 一般情况下为充气气体与空气密度差与重力加速度的乘积ρg, 如果是填充空气[13], 则ρg≈1.225×10=12.3 N/m。对于一般的充气膜结构, 尺度较小, 因此max(p01+εsin2φ√γbcosφ)≈p01+ε√γb≤1max(p01+εsin2φγbcosφ)≈p01+εγb≤1, 如果充气膜结构跨度较大, 则p0与γb可能为同一量级, 如若平流层飞艇, 一般达200 m长度, 矢跨比为1/6则γb≈10×30=300, 而充气压力一般为500~800 Pa[14], 因此, 荷载高度效应不能忽略。由于控制方程为线性方程, 因此应用叠加原理, 直接把随高度变化荷载引起的内力值与原来荷载效果叠加即可。

将式 (13) 代入式 (10) , 对式 (10) 积分有:

U′=∫φ0ρg⋅cosφ⋅sinφ(1+εsin2φ)5/2dφ= ρg∫φ0sinφ(1+εsin2φ)5/2dsinφ= ρg3(1−1(1+εsin2φ)3/2) V′=0U′=∫0φρg⋅cosφ⋅sinφ(1+εsin2φ)5/2dφ=ρg∫0φsinφ(1+εsin2φ)5/2dsinφ=ρg3(1-1(1+εsin2φ)3/2)V′=0

所以, 可以求得内力为

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪Nφ=U′r2sin2φNθ=U′r1sin2φNφθ=V′r22sin2φ=0 (14){Νφ=U′r2sin2φΝθ=U′r1sin2φΝφθ=V′r22sin2φ=0(14)

其中剪应力仍然为零, 可见与旋转角无关的正压力荷载不会产生剪应力。

对于有些优化后的旋转结构, 或者在特殊场合应用的一些结构, 其母线方程是比较复杂的, 有些甚至没有解析表达, 而只有数值结果。因此, 对于这些结构, 充气荷载的计算很难求出其解析表达, 数值积分是一个比较理想的选择。如“天舟一号”平流层演示验证飞艇[15], 它的母线方程虽然有解析表达, 但是过于复杂, 如果强行积分, 不仅费时, 而且, 还很有可能得不到正确结果。故采用数值积分方法求解其充气压力下的应力与变形是比较好的选择。

本文针对此充气飞艇在充气状态下母线变形分别用数值积分法与有限元程序分析, 最后对同种方法求解结果进行比较。

对于“天舟一号”平流层演示验证飞艇[16], 由于其母线方程的复杂性, 本文用MATLAB数值求解与用ANSYS有限元方法求解结果做对比分析。材料选取一般膜材, 单位面积比重为180 g/m2, 厚度为0.3 mm, 弹性模量为10 000 Pa, 由解析方程的数值计算与由ANSYS有限元法模拟轴向位移、轴向应力结果分别见图2、图3。需要注意的是, 在计算中, 均选取飞艇的体积中心为不动点[17]。

从图中可以看到, 由于飞船首、尾两端近似相同, 在充气压力下, 轴向变形与应力也近似对称。位移变化可近似看作为轴向受拉梁, 与轴向坐标成线性关系, 这种线性关系在飞艇中部母线曲率变化不大时尤为明显。需要注意的是, 由于首尾的曲率变化, 最大位移并不出现在首尾两端点, 而是出现在首尾两端点偏中部处。这是因为在首尾处飞艇轴向压力很小, 径向压力比轴向力大很多, 由径向力产生的泊松效应引起的反向位移抵消了由轴向力所产生的位移。

应力最大值出现在飞艇近正中位置;在飞艇中部, 应力变化不大, 与母线形状在中部变化不大相对应, 这也说明曲率是影响充气结构应力分布的关键因素。应力在首尾两端梯度很大, 极速地向零应力状态靠近。

本文给出了旋转体型充气结构在充气压力下的理论求解方法, 并且得出母线为椭圆时旋转体型解析解, 证明小体积充气囊体, 充气压力高度差对囊体变形的影响可以忽略。

其次给出求解任意母线旋转体型充气囊体的数值解法, 并与实测数据对比, 验证数值方法解的准确性, 具有较强的实用价值。充气压力对囊体的变形研究对于飞艇找形、初始变形等后续研究有重要意义。

另外, 需要说明的是, 曲面坐标的选择时, 从理论上可以任意选取两个不相关坐标轴来求解充气膜结构。但是在应用中, 对于不同曲面一般选用最方便的坐标系统, 如本文的 (φ, θ) 系统, 或者 (r1ϕ, rθ) (此时Lame常数A=B=1, 但是曲率荷载方向及应变求解比较复杂) , 也有选用柱坐标系统等。总之, 坐标的选择以计算方便为原则, 没有固定的限制。