张拉膜结构是由稳定的空间张拉膜面、支承桅杆体系、支承索与边缘索等构成的结构体系。膜结构体型复杂, 对风振作用敏感, 风动力作用下结构容易表现出强非线性特征[1,2,3,4]。无论是结构的静力性能还是自振特性, 都与结构的刚度密切相关[5]。膜结构属于大跨度柔性结构, 其表现出明显的几何非线性和材料非线性, 因此为了研究膜结构的力学性能, 准确把握结构的动力响应规律, 必须首先准确把握结构刚度的变化规律, 这是研究膜结构风致响应的重要前提[6]。

本文采用非线性有限元方法对开敞式鞍形膜结构的静力性能及自振特性进行了参数化分析, 主要考虑了膜面预应力、矢跨比、弹性模量等对开敞式鞍形膜结构振动响应的影响规律, 重点分析了结构刚度对于结构静力性能及自振特性的影响规律。

本文以双曲鞍形膜结构作为研究对象, 结构跨度为10m, 矢高为2.5m, 四周开敞, 如图1所示。膜材厚度为0.8mm, 密度为1 300g/m2。膜材的经、纬向弹性模量分别为403.75, 211.25MPa, 泊松比分别为0.355, 0.186。膜边界采用柔性边界索约束, 弹性模量为200GPa, 截面面积为200mm2, 泊松比为0.3, 边索的初始预拉力为40k N。

本文以静力性能分析和自振特性分析两部分展开分析。结构的静力性能分析主要指的是竖向荷载作用下的结构性能分析, 自振特性分析主要指的是结构的振型和自振频率分析。分析中主要考虑了膜面预应力、矢跨比、弹性模量等因素, 重点分析了结构刚度的变化规律及其对结构性能的影响。根据工程实际情况, 矢跨比f/L分别取1/4, 1/8, 1/16, 膜面预应力σ分别取1, 3, 5k N/m, 弹性模量E分别取400, 1 400, 2 400MPa。

文献[7]中进行了圆膜振动试验, 真空箱的边长为40cm、高度为30cm, 箱体采用钢材制作, 箱盖为钢化有机玻璃。圆膜单元四周固定, 通过顶升边界的方法均匀施加张力。本文采用ANSYS有限元软件对文献[7]试验进行数值模拟, 采用Shell41单元, 圆膜四周边界固定, 有限元模型如图2 (a) 所示。计算中通过降温法对圆膜施加预应力, 从找形结果看, 膜面最大应力为0.092MPa、最小应力为0.092MPa, 施加预应力后圆膜应力分布完全均匀, 如图2 (b) 所示。

将真空中圆膜自振频率模拟结果与试验统计结果列于表1中, 对比分析可知:在不同预应力下, 试验过程中, 当测点正好位于不振动位置时, 测得结果有多阶频率遗失[7], 而数值模拟可以得到完整的前4阶频率。数值模拟结果和试验测得结果非常接近, 差值在允许范围内, 验证了数值模拟方法的正确性。而导致微小差别的原因是数值模拟中的边界条件约束是完全理想的, 膜面预应力分布也是完全均匀的, 但试验测试中的边界约束以及预应力分布并不是完全均匀和理想的。

图3是均布荷载q为1k N/m2时的鞍形膜结构的第一主应力分布图和竖向位移分布图。分析发现, 膜面最大主应力出现在两个高点支座附近, 两个低点支座附近应力最小。膜面的竖向位移最大值对称分布在膜面两个低点支座连线上。

图4是不同矢跨比作用下的荷载-位移曲线。在矢跨比较大 (f/L=1/4) 时, 荷载-位移曲线分成两段, 第1阶段曲线的斜率大于第2阶段。此时线性刚度起决定作用, 随着荷载的增大, 结构刚度降低, 属于“线性-软化”模型。矢跨比较小 (f/L=1/16) 时, 荷载-位移曲线也是分成两段, 结构刚度逐渐增大, 称为线性-硬化模型。

鞍形膜结构的刚度矩阵由线性刚度矩阵和非线性刚度矩阵组成。线性刚度和非线性刚度在刚度矩阵中所占比例与膜材料性质、施加的预应力有关, 其中线性刚度与结构材料、初始构型有关, 非线性刚度与施加荷载后的应力分布、位移有关[8,9]。加载初期的结构刚度由线性刚度和非线性刚度共同作用;随着荷载的增加, 非线性刚度起主要作用, 体现出非线性硬化弹簧性质。随着矢跨比的增大, 位移的增大呈现由非线性到线性的过渡 (约在矢跨比为1/8时) , 膜面的总刚度逐渐增大, 位移和膜面应力明显非线性减小。

图5是两种矢跨比作用下的荷载-位移曲线, 其中矢跨比f/L=1/4时的曲线对应的是线性-软化模型, 矢跨比f/L=1/16时的曲线对应的是线性-硬化模型;随着膜面预应力的增大, 荷载-位移曲线的斜率明显增大。在加载初期, 由于线性刚度起控制作用, 随着荷载的增加, 膜面发生大变形, 导致结构刚度变小, 进入“软化”阶段。在线性-硬化模型中, 随着膜面预应力的增加, 结构位移增幅和最大主应力增幅越来越小。预应力越小, 上述现象越明显, 随着外荷载的增加, 结构刚度不断改变, 且线性刚度和非线性刚度的比例也在逐渐改变, 而且变化程度与矢跨比直接相关[10]。

图6为鞍形膜结构在不同均布荷载下的位移-弹性模量变化曲线。分析发现, 随着材料弹性模量的增加, 膜面位移呈现非线性减小, 且幅度逐渐变小的现象, 低预应力时该现象更加明显。随着弹性模量的增加, 膜面应力非线性增大, 结构的位移明显减小。高预应力时, 位移增幅越来越小, 而低预应力, 位移增幅越来越大。分析原因是, 鞍形膜结构的刚度由线性刚度和非线性刚度组成, 而鞍形膜结构的线性刚度是由膜材的弹性模量与结构几何刚度确定的[5,10]。

图7是鞍形膜结构的前6阶振型。分析发现, 鞍形膜结构的前几阶自振频率非常接近, 但是各振型形态上相差较大, 先是整个膜面的整体振动, 然后才是膜面的局部振动。其中, 第1阶振型是膜面整体沿着Y轴负方向的平动, 第2阶振型是膜面沿着Z轴的转动, 随着振型阶次的增加, 膜面振动的参与部分也越多, 表现为膜面各局部部分独立的振动。这是由于鞍形膜结构本身有多个对称轴, 加上自重轻、无弯曲刚度、局部刚度小等特点, 造成了多阶频率发生重叠的现象。

图8为各阶模态平动和转动时的振型参与系数曲线。分析发现, X轴平动的振型参与系数在各阶模态中分布比较均匀, 总振型贡献率最大, 为53.300 3%;而Y轴转动和Z轴转动的振型参与系数波动最大, 振动参与度相差很大;其余方向的规律类似, 介于上述之间。因此, 在各阶模态振型图中主要呈现出来的是膜面沿着X轴平动和Z轴平动的振动, 而这与结构质量和结构刚度密切相关。

图9是鞍形膜结构在前5阶模态下自振频率随预应力的变化曲线。分析发现, 随着预应力的增大, 各阶自振频率也逐渐变大, 增长幅度也逐渐变大但略有不同;其中第1阶和第5阶振型的自振频率在矢跨比f/L=1/4时为线性增加, 第2, 3, 4阶振型的自振频率随着预应力的增大呈非线性增大, 且增幅逐渐变小。膜材料的刚度由线性刚度和非线性刚度组成, 当矢跨比f/L较大时, 线性刚度起控制作用, 预应力越大时, 膜结构的线性刚度会增大。

图10为不同模态下的自振频率-矢跨比变化曲线。分析发现:矢跨比f/L对结构自振频率的影响比较明显, 在同一振型阶次下, 矢跨比f/L越大, 结构的自振频率越大;随着矢跨比f/L的增大, 自振频率值逐渐增大, 但增幅逐渐变小, 不同阶次略有不同。在低预应力 (1k N/m) 且矢跨比f/L较大时, 线性刚度起控制作用;随着矢跨比f/L的减小, 结构的竖向位移越大, 非线性刚度越大。随着矢跨比的增大, 鞍形膜结构的刚度由非线性刚度起控制作用过渡到线性刚度起控制作用, 因此自振频率增幅减小, 且越来越密集。当预应力为5k N/m时, 矢跨比越大, 结构同一阶次的自振频率越大, 但增幅并不显著;不同阶次频率的变化规律略有不同, 这与振型的表现形式有关。

图11是不同模态下鞍形膜结构自振频率随振型阶次的变化曲线。在同一振型下, 随着弹性模量的增大, 结构的第1阶自振频率逐渐增大, 但是增幅不明显, 其他阶次发展规律类似, 但略有不同。如前所述, 在高预应力和大矢跨比下, 鞍形膜结构的线性刚度起控制作用。在低弹性模量时, 增大弹性模量, 结构自振频率值增加明显;而在高弹性模量时, 弹性模量的增大对结构刚度的影响作用减弱, 因此自振频率增幅逐渐变小。

本文进行了开敞式鞍形膜结构的静力性能和自振特性分析, 探讨了膜面预应力、矢跨比和材料弹性模量对结构的静力性能和自振特性的影响规律, 得到了如下主要结论:

(1) 结构在竖向均布荷载作用下的静力性能包括两种类型:线性-软化模型和线性-刚化模型。随着矢跨比的增大, 鞍形膜结构由非线性体系向线性体系过渡, 非线性刚度作用逐渐弱化, 线性刚度逐渐强化。

(2) 鞍形膜结构振型密集, 频率重叠, 各阶频率呈阶梯上升。先是整个膜面的整体振动, 然后才是膜面的局部振动, 选取前20阶频率能够进行准确的膜结构动力分析。

(3) 影响开敞式鞍形膜结构静、动力力学性能的主要参数是膜面预应力、矢跨比和膜材弹性模量。其中, 矢跨比对于静力性能影响最大, 其次是膜面的初始预应力和膜材料的弹性模量。在自振特性方面, 膜面预应力对开敞式鞍形膜结构频率增加的影响最为显著, 其次是矢跨比和弹性模量。随着膜面预应力的增大, 膜结构的刚度增大, 各阶自振频率大幅增加, 但增幅逐渐变小。